等边三角形的性质有哪些(等边三角形如何判定)

三边都相等的三角形叫等边三角形,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.拥有等腰三角形所有的性质,并且具有自己特有的性质。

1.等边三角形的性质

等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°;等边三角形是轴对称图形,具有三条对称轴。

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例题1:如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H.(1)求证:△BCE≌△ACD;(2)求证:FH∥BD.

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第1问:先根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°,再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD;

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第2问:由(1)知△BCE≌△ACD,可知∠CBF=∠CAH,BC=AC,再由ASA定理可知△BCF≌△ACH,可得出CF=CH,根据∠FCH=60°,可知△CHF为等边三角形,进而可得出结论.

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这也是“手拉手模型”基本的模型图,里面包含的结论远远不止这两个。如果将其中一个等边三角形绕着点C进行旋转,也会得到一系列的结论。

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2.等边三角形的判定

常用的方法有:

(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;

(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

例题2:如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足,求证:△DEF是等边三角形.

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分析:由∠A=120°,AB=AC,易得∠B=∠C=30°,从而得∠EDF=60°,因为D是BC的中点,易证△BDE≌△CDF,由全等三角形的性质得DE=DF,由等边三角形的判定得△DEF是等边三角形.

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本题主要考查了等腰三角形的性质,全等三角形的性质及判定定理,等边三角形的判定,找出等边三角形的判定条件是解答此题的关键。在证明等边三角形时,第三种判定方法用得比较多。

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3.含30°的直角三角形

在直角三角形中,如果有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。这个定理的前提条件是“在直角三角形中”,是证明直角三角形中一边等于另一边(斜边)的一半的重要方法之一,通常用于证明边的倍数关系和计算线段的长度,这个直角三角形中,三边的比为:1:2:根号3.

例题3:已知:如图,等边△ABC中,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q.求证:BP=2PQ.

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分析:根据全等三角形的判定方法SAS可证得△BEC≌△ADB,根据各角的关系及三角形内角、外角和定理可证得∠BPQ=60°,即可得结论.

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本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30°直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质。

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